Il existe une réponse, et elle est mathématique.




C’est l’heure de vérité au supermarché : votre panier rempli de courses, il faut maintenant choisir une file d’attente, et bien évidemment, la plus rapide. Alors que vous pensiez avoir fait le bon choix cette fois-ci, vous vous êtes encore retrouvé dans la file qui n’avance pas, alors que les clients des autres files, parfois arrivés après vous, sont déjà en train de quitter le magasin.

Mais ne s’agirait-il pas tout simplement d’une illusion ? Malheureusement, non. La clef du problème est tout à fait mathématique, et fait même l’objet d’une théorie scientifique, la théorie des files d’attentes.

Une histoire de téléphone
Pour tout comprendre, il faut remonter au début du XXème siècle, durant les premières années de la téléphonie. Dans les années 1900, à Copenhague, un ingénieur dénommé Agner Krarup Erlang s’est penché sur la question du nombre optimal de lignes téléphoniques pour assurer un bon fonctionnement du réseau de la capitale danoise. Son étude, parue en 1909, marque l’un des premiers pas de la théorie des files d’attente.

A l’époque, le bon fonctionnement du réseau téléphonique reposait notamment sur les opérateurs, chargés de prendre les demandes d’appel des abonnés pour les mettre en relation avec leurs interlocuteurs, par le biais d’un branchement. Pour rendre le système efficace et éviter l’encombrement des lignes, tout en réduisant les coûts, Erlang a calculé le nombre minimum de lignes à installer.

Avec une seule ligne, les appels se seraient rapidement retrouvés bloqués. Les clients auraient dû attendre parfois plusieurs heures avant de pouvoir être connectés. Une ligne pour chaque téléphone aurait été un investissement inutile, car tout le monde n’appelle pas en même temps. Il faut donc faire appel aux statistiques.

Si l’on imagine que deux appels sont passés par heure en moyenne, deux lignes devraient suffire. Mais, expliquait alors Erlang, il ne s’agit que d’une moyenne, et il est tout à fait possible qu’à certains moments de la journée, plus de deux personnes décident de passer un appel. Et dans ce cas de figure, les lignes seraient encombrées, surtout si l’on imagine que les Danois sont particulièrement bavards et passent environ une heure à discuter au téléphone.

Les statistiques de la file d'attente
Partant de ce constat, Erlang a mis au point une équation prenant en compte le nombre moyen d’appels par heure et leur durée moyenne. Il a déterminé que pour que 99% des appels soient bien connectés sans attente, sept lignes seraient nécessaires. Mais comment cette recherche peut-elle nous aider à comprendre le mystère de la file d’à côté qui avance plus vite ?

La théorie des files d’attente permet d’expliquer pourquoi vous avez très peu de chances de toujours vous retrouver dans la file la plus rapide. Tout comme la Société des Télécommunications de Copenhague a essayé de le faire avec les lignes téléphoniques, les supermarchés cherchent à mettre en place le nombre idéal de caisses pour que leurs clients aient le moins à attendre.

Comme pour le téléphone, il est impossible de déterminer le nombre exact de clients qui vont se presser aux caisses du magasin en une heure. A certains moments de la journée ou de la semaine, les magasins sont envahis de clients, alors qu’à d’autres, c’est le calme plat. Et il n’est pas toujours possible d’ouvrir de nouvelles caisses dans les moments d’affluence.

Il suffit d’un petit contre-temps à la caisse pour que toute une file soit retardée. Ces retards se produisent de manière aléatoire, pour toutes les files d’attente. C’est pourquoi les chances que vous vous retrouviez dans la file la plus rapide ne sont pas bien épaisses. Si vous avez affaire à trois lignes, vous avez seulement une chance sur trois d’être dans la plus rapide. La plupart du temps, vous ne rêvez donc pas : les autres files avancent plus vite que la vôtre, c’est mathématique.

Une seule file pour résoudre le problème
Mais à chaque problème sa solution : il suffit de mettre en place une ligne unique débouchant sur plusieurs comptoirs, comme on peut le voir dans les aéroports ou dans certaines banques par exemple. Avec trois caisses, il est possible de finir ses courses trois fois plus vite qu’avec la méthode traditionnelle. Si une des caisses connaît un contre-temps, comme un client indécis ou une vérification de prix, toute la file d’attente sera légèrement impactée. La personne arrivée après vous dans la queue ne pourra jamais être servie avant vous !

L’ennui, c’est que la nature humaine n’est pas friande de ce genre de système. Les humains aiment garder le contrôle de leur vie et déjouer le système quand ils le peuvent. Déterminer quelle file va le plus vite peut faire partie des petits défis du quotidien chez certains. Dans ce sens, la ligne unique embête les clients, et sa longueur peut parfois rebuter.

La plupart du temps, nous devons donc choisir notre file d’attente, et risquer une énième déception. La prochaine fois que cela vous arrivera, dites vous donc bien qu’il ne sert à rien de perdre du temps à évaluer la situation. Le mieux est encore d’y aller au hasard !